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Regel von L?Hospital

Mit der Regel von L'Hospital (auch L'Hôpital, sprich: [lopi'tal]) lassen sich in der Mathematik bestimmte Grenzwerte berechnen.

Die Regel ist benannt nach Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital (1661-1704), der sie allerdings nicht selbst entdeckte, sondern aus einem Kurs von Johann Bernoulli übernahm, jenem abkaufte und 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung, veröffentlichte.

Inhaltsverzeichnis

1 Zweck und Anwendung der Regel
- 1.1 Anschauliche Erklärung
- 1.2 Weitere Anwendungsmöglichkeiten
2 Präzise Formulierung
3 Beispiele
4 Warnbeispiele
5 Literatur
6 Weblinks

[Bearbeiten] Zweck und Anwendung der Regel

Die Regel erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert einer Funktion (für x?x₀, x?x₀+, x?x₀- oder für x?±?) zu bestimmen, wenn sich der Funktionsterm so ausdrücken lässt, dass beim Erreichen der Grenze ein unbestimmter Ausdruck entsteht.

Im Standardfall, auf den sich alle anderen Anwendungen zurückführen lassen, geht es darum, $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ zu bestimmen, wobei sowohl $\lim_{x \to x_0}{f(x)} = 0$ als auch $\lim_{x \to x_0}{g(x)} = 0$ ist. $\frac{f(x_0)}{g(x_0)}$ ist also ein ?unbestimmter Ausdruck? des Typs ${0\over 0}$ .

Die Regel von L'Hospital besagt hier, dass

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

gilt, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.

Die rechte Seite dieser Gleichung wird sich häufig einfach berechnen lassen. Führt auch sie wieder auf einen ?unbestimmten Ausdruck?, so kann man darauf erneut die Regel von L'Hospital anwenden, was möglicherweise in endlich vielen Schritten zum Ziel führt.

[Bearbeiten] Anschauliche Erklärung

Die Regel beruht darauf, dass sich Funktionen ?in der Nähe? einer Stelle x₀ durch ihre Tangenten annähern lassen.

Ist (im ?Standardfall?) $\lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{x \to x_0}g(x) = 0$ , so lauten die Tangentengleichungen $y=f'(x_0)\,\cdot(x-x_0)$ und $y=g'(x_0)\,\cdot(x-x_0)$ . Ihr Quotient $\frac{f'(x_0)\,\cdot(x-x_0)}{g'(x_0)\,\cdot(x-x_0)}\,=\,\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$ ist also eine Näherung für $\frac{f(x_0)}{g(x_0)}$ .

[Bearbeiten] Weitere Anwendungsmöglichkeiten

Eine Übersicht über die Funktionsterme, für die die Anwendung der Regel von L'Hospital in Frage kommt, ergibt sich aus den verschiedenen Typen von unbestimmten Ausdrücken. Darüber hinaus gilt die Regel stets auch dann, wenn $\lim_{x \to x_0}$ durch $\lim_{x \nearrow x_0}$ oder $\lim_{x \searrow x_0}$ oder $\lim_{x \to \pm\infty}$ ersetzt wird.

[Bearbeiten] Präzise Formulierung

Sei $I = ] a, b [$ ein nichtleeres offenes Intervall und seien $f,g:I\to\Bbb{R}$ differenzierbare Funktionen, die für $x\nearrow b$ (x von unten gegen b) beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren. Wenn $g'(x) \neq 0$ für alle $x \in I$ gilt sowie $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ für $x\nearrow b$ gegen einen Wert $c$ konvergiert oder bestimmt divergiert, so tut dies auch $\frac{f(x)}{g(x)}$ . Analoges gilt, wenn man $x\nearrow b$ überall durch $x\searrow a$ ersetzt.

[Bearbeiten] Beispiele

1. Beispiel:

Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von $\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{\tan(x)}$ . Dazu setzt man $\ f(x):=\cos(x)-1$ und $\ g(x):=\tan(x)$ . Es gilt $\lim_{x\to 0}{f(x)}=0$ und $\lim_{x\to 0}{g(x)}=0$ . Falls $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ für $x \rightarrow 0$ konvergiert oder bestimmt divergiert, dürfte die Regel von L'Hospital angewandt werden. Nun gilt

$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{-\sin(x)}{\frac{1}{\cos^2(x)}} = -\sin(x)\cos^2(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow 0$ .

Somit ist die Regel von L'Hospital anwendbar, und mit dieser folgt die Konvergenz von $\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{\tan(x)}$ mit Grenzwert 0.

2. Beispiel:

Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von $\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}$ . Man setzt $f(x):=\sqrt{x}$ und $\ g(x):=\ln(x)$ . Es sind $\lim_{x\to \infty}{f(x)}=\infty$ und $\lim_{x\to \infty}{g(x)}=\infty$ beide bestimmt divergent. Falls $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ für $x \rightarrow \infty$ konvergiert oder bestimmt divergiert, dürfte die Regel von L'Hospital angewandt werden. Nun gilt

$\frac{f'(x)}{g'(x)} = {\frac{1}{2\sqrt{x}} \over \frac{1}{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2}\rightarrow\infty$ für $x \rightarrow \infty$ ,

d. h., $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \infty$ ist bestimmt divergent. Daher darf die Regel von L'Hospital angewandt werden, und aus ihr folgt die bestimmte Divergenz $\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \infty$ .

3. Beispiel:

Nicht auf den ersten Blick zu erkennen ist, dass auch der Grenzwert $\lim_{x \searrow 0}x^x$ mit der Regel von L'Hospital zu bestimmen ist. Dazu wird zunächst $x^x = (e^{\ln(x)})^x = e^{x \cdot \ln(x)}$ umgeformt, dann $x \cdot \ln(x) = \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ . Zähler und Nenner divergieren hier bestimmt, mit $\ f(x):= \ln{x}$ und $\ g(x):=\frac{1}{x}$ folgt $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = -x$ und $\lim_{x \searrow 0}-x = 0$ . Somit ist die Regel von L'Hospital anwendbar, und sie impliziert $\lim_{x \searrow 0}x\cdot\ln x = 0$ . Aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgt $\lim_{x \searrow 0}x^x = \lim_{x \searrow 0}e^{x\cdot\ln x} = e^0 = 1$ .

[Bearbeiten] Warnbeispiele

Die beiden Warnbeispiele sollen folgende Sachverhalte verdeutlichen:

Falls $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ nicht existiert, kann $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ gleichwohl existieren. Die Regel $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ darf erst angewandt werden, wenn zuvor die Konvergenz oder bestimmte Divergenz von $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ nachgewiesen ist.

Starres Festhalten an der Regel von L'Hospital führt gelegentlich zu größerem (und komplizierterem) Rechenaufwand.

1. Beispiel:

Sei $\ f(x) := \sin x + 2x$ und $\ g(x) := \cos x + 2x$ . Für $x \to \infty$ liegt der Fall $\frac{\infty}{\infty}$ vor. Die Regel von L'Hospital kann aber nicht angewandt werden, denn $\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{\cos x + 2}{-\sin x + 2}$ ist für $x \to \infty$ unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt.

Trotz des Versagens der Regel von L'Hospital konvergiert $\frac{f(x)}{g(x)}$ für $x\rightarrow\infty$ . Es ist nämlich offensichtlich $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\cos x + 2x}\right)=1$ .

2. Beispiel:

Wenn man den Grenzwert $x \rightarrow x_0$ berechnen möchte und die Taylorentwicklung von Nenner und Zähler um $x 0$ kennt, ist es oftmals einfacher, den Grenzwert über den $\mathcal{O}$ -Kalkül zu bestimmen, als mehrfaches Anwenden der Regel von L'Hospital. Beispielsweise ist

$\frac{\sin x -x}{x(1-\cos x)} = \frac{-\frac{1}{6}x^3 + \mathcal{O}(x^5)}{x(\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(x^4))} = \frac{-\frac{1}{6}+\mathcal{O}(x^2)}{\frac{1}{2}+\mathcal{O}(x^2)} \rightarrow -\frac{1}{3}$

für $x \rightarrow 0$ .

[Bearbeiten] Literatur

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 12. Auflage. B. G. Teubner Stuttgart Leipzig, 1998

[Bearbeiten] Weblinks

Anwendungsbeispiel bei mathe-online.at
Wikibooks: Beweis der Regeln von L'Hospital ? Lern- und Lehrmaterialien

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