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Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind der Kern einer eleganten Lösung der Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators. Diese Operatoren können auch dazu benutzt werden, gewisse Probleme mit quantenmechanischem Drehimpuls einfacher zu lösen. Ferner finden die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Verwendung bei der Quantisierung von Feldern (der sogenannten zweiten Quantisierung oder Besetzungszahl-Darstellung).

Es gibt eine Vielzahl alternativer Bezeichnungen wie Leiteroperatoren, Kletteroperatoren, Aufsteige- und Absteigeoperatoren sowie Hebe- und Senkoperatoren. Statt ?Erzeugungsoperator? wird manchmal auch Erschaffungsoperator verwendet. Im deutschsprachigen Raum werden darüber hinaus auch die Operatoren $? +$ und $? ?$ , die die Zustände eines Atoms ändern, als Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren bezeichnet.

Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lässt sich mithilfe der Methode der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren behandeln, die auch algebraische Methode genannt wird. Sie wurde hauptsächlich von Paul Dirac entwickelt. Für diesen Lösungsweg definiert man zwei Operatoren $\hat a$ und $\hat a^\dagger$ , die einem Oszillator jeweils ein Energiequant $\hbar\omega$ entziehen oder hinzufügen. Man nennt sie deswegen Vernichtungs- und Erzeugungsoperator

Das Zirkumflex über dem $a$ symbolisiert, dass es sich dabei um einen Operator handelt. Damit gelten nicht die selben Rechenregeln wie für Skalare, denn die Reihenfolge von Operatoren lässt sich beispielsweise im Allgemeinen nicht vertauschen. Im Folgenden wird auf das Zirkumflex zugunsten der Übersichtlichkeit verzichtet. Alle lateinischen Großbuchstaben, mit Ausnahme des E, sind Operatoren.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Herleitung
4 Matrixdarstellung
5 Eigenzustände
6 Literatur
7 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators lautet

$\left( \frac{P^{2}}{2m}+\frac{m\omega ^{2}Q^{2}}{2} \right)\left| \Psi _{n} \right\rangle =E_{n}\left| \Psi _{n} \right\rangle$

$P$ Impulsoperator, $Q$ Ortsoperator, $E n$ Energieeigenwert, $\left| \Psi _{n} \right\rangle$ Energieeigenzustand, $m$ Masse, $?$ Eigenfrequenz

Der Hamiltonoperator lässt sich umformen:

$H=\frac{P^{2}}{2m}+\frac{m\omega ^{2}Q^{2}}{2}=\hbar \omega \left( \frac{P^{2}}{2\hbar m\omega }+\frac{m\omega Q^{2}}{2\hbar } \right)$

Es werden zwei neue Operatoren definiert:

$\tilde{P}=\frac{P}{\sqrt{2\hbar m\omega }}$ und $\tilde{Q}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}Q$

Der Hamiltonoperator ausgedrückt mit den neuen Operatoren:

$H=\hbar \omega \left( \tilde{P}^{2}+\tilde{Q}^{2} \right)$

Man versucht nun, den Inhalt der Klammer als Produkt zu schreiben, also

$\left( u-iv \right)\left( u+iv \right)=u^{2}+v^{2}+iuv-ivu=u^{2}+v^{2}$

Da aber u und v Operatoren sind, die nicht vertauschen, gilt hier das letzte Gleichheitszeichen nicht. Um zwei Operatoren miteinander zu vertauschen, ist der Kommutator vonnöten: $\tilde{Q}\tilde{P}=\tilde{P}\tilde{Q}-\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right]$

$H=\hbar \omega \left( \tilde{Q}^{2}+\tilde{P}^{2} \right)$

$=\hbar \omega \left( \tilde{Q}^{2}+\tilde{P}^{2}-i\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right]+i\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right] \right)$

$=\hbar \omega \left( \tilde{Q}^{2}+\tilde{P}^{2}+i\left[ \tilde{Q},\tilde{P} \right]+i\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right] \right)$

$=\hbar \omega \left( \tilde{Q}^{2}+\tilde{P}^{2}+i\tilde{Q}\tilde{P}-i\tilde{P}\tilde{Q}+i\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right] \right)$

Der Kommutator $\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right]$ kann auf den Kommutator der ursprünglichen Operatoren $P$ und $Q$ zurückgeführt werden:

$\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right]=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega }}\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\underbrace{\left[ P,Q \right]}_{-i\hbar }=-\frac{i}{2}$

Der Hamiltonoperator sieht nun folgendermaßen aus:

$H=\hbar \omega \underbrace{\left( \tilde{Q}-i\tilde{P} \right)}_{a^{\dagger }}\underbrace{\left( \tilde{Q}+i\tilde{P} \right)}_{a}+\frac{1}{2}\hbar \omega$

Jetzt werden die beiden Leiteroperatoren definiert:

$a^{\dagger }=\tilde{Q}-i\tilde{P}$ Erzeugungsoperator

$a=\tilde{Q}+i\tilde{P}$ Vernichtungsoperator

Häufig werden sie auch als $a$ ₊ und $a$ _- geschrieben. Man beachte, dass die Leiteroperatoren nicht hermitesch sind, da $a\ne a^{\dagger }$ .

Die Leiteroperatoren ausgedrückt durch Ortsoperator $Q$ und Impulsoperator $P$ :

$a^{\dagger} =\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\left( Q-i\frac{1}{m\omega }P \right)$

$a=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\left( Q+i\frac{1}{m\omega }P \right)$

Mit den Leiteroperatoren schreibt sich der Hamiltonoperator:

$H=\hbar \omega \left( a^{\dagger }a+\frac{1}{2} \right)$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Das Produkt $a^{\dagger }a$ definiert den Teilchenzahloperator oder Besetzungszahloperator:

$N=a^{\dagger }a$

Zu bestimmen ist noch der Kommutator aus den beiden Leiteroperatoren:

$\left[ a,a^{\dagger } \right]=aa^{\dagger }-a^{\dagger }a=\left( \tilde{Q}+i\tilde{P} \right)\left( \tilde{Q}-i\tilde{P} \right)-\left( \tilde{Q}-i\tilde{P} \right)\left( \tilde{Q}+i\tilde{P} \right)=2i\left( \tilde{P}\tilde{Q}-\tilde{Q}\tilde{P} \right)=2i\underbrace{\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right]}_{-\frac{i}{2}}$

$\left[ a,a^{\dagger } \right]=1$

Somit gelten damit die Beziehungen:

$aa^{\dagger} - a^{\dagger}a = 1$

$H=\hbar \omega \left( a^{\dagger }a+\frac{1}{2} \right)$

$H=\hbar \omega \left( aa^{\dagger }-\frac{1}{2} \right)$

Eine besonders wichtige Eigenschaft der Operatoren ist diese: Ist $\left| \Psi_n \right\rangle$ eine Lösung der Schrödingergleichung für die Energie $E n$ , so ist $a^{\dagger}\left| \Psi_n \right\rangle$ eine Lösung für die Energie $E+\hbar \omega$ und $a\left| \Psi_n \right\rangle$ eine Lösung für die Energie $E-\hbar \omega$ . Das bedeutet, dass man aus einer Lösung alle Lösungen erhalten kann, indem man einfach die entsprechenden Operatoren auf diese Lösung anwendet. Dadurch wird eine neue Lösung für das benachbarte Energieniveau erzeugt.

Da man zeigen kann, dass negative Energien nicht existieren, gibt es eine Lösung $\left| \Psi_0 \right\rangle$ , die auf einem minimalen Energieniveau sitzt. Diese Lösung muss die Eigenschaft $a\left| \Psi_0 \right\rangle = 0$ besitzen. Außerdem gilt: $a^{\dagger }a\left| \Psi_0 \right\rangle =0$

$\hbar \omega \left( a^{\dagger }a+\frac{1}{2} \right)\left| \Psi_0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| \Psi_0 \right\rangle$

Somit hat man die minimale Energie (Nullpunktsenergie)

$E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$ .

Da jede Lösung um eine Energie $\hbar\omega$ verschoben ist, ergeben sich die Energienivaus zu

$E_n = \hbar\omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$

Im Zustand $\left| \Psi_n \right\rangle$ setzt sich die Energie $E n$ zusammen aus der Nullpunktsenergie $\hbar\omega /2$ und $n$ Energiequanten der Größe $\hbar\omega$ . Die Wirkung von $a^{\dagger}$ überführt das System in einen Zustand mit der um $\hbar\omega$ erhöhten Energie. Dies kann man als Erzeugung eines zusätzlichen Energiequants interpretieren, was den Namen Erzeugungsoperator verständlich macht. Analog überführt der Operator $a$ das System in einen um ein Energiequant reduzierten Zustand. Es wird also ein Energiequant vernichtet, deswegen Vernichtungsoperator. Die Eigenwerte des Operators $N$ geben an, wieviele Energiequanten in einem Eigenzustand angeregt sind. Die Besetzung eines Zustandes mit $n$ Energiequanten erklärt den Namen Besetzungszahloperator.

[Bearbeiten] Herleitung

Die Eigenwerte des Hamiltonoperators $H$ ergeben sich aus den Eigenwerten des Besetzungszahloperators $N=a^{\dagger }a$ . Die Eigenzustände von $N$ sind auch Eigenzustände von $H$ , da $\left[ H,N \right]=0$

$\hbar \omega \left( N+\frac{1}{2} \right)\left| \Psi_n \right\rangle =E_{n}\left| \Psi_n \right\rangle$

Im Folgenden schreiben wir $\left| n \right\rangle$ für $\left| \Psi_n \right\rangle$ .

Der Besetzungszahloperator $N$ ist ein hermitescher Operator und hat daher reelle Eigenwerte, die wir $n$ nennen. Die zugehörige Eigenwertgleichung lautet:

$N\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle$

Die Eigenzustände sind Fock-Zustände oder Besetzungszahlzustand. Im Folgenden werden verschiedene Eigenschaften von $N$ abgeleitet. Die Eigenzustände $\left| n \right\rangle$ seien normiert.

Die Eigenwerte sind nicht negativ: $n\ge 0$

$n=\left\langle n|N|n \right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger }a|n \right\rangle =\left\langle an|an \right\rangle =\left\| a \left| n \right\rangle \right\|^{2}\ge 0$

Die Ungleichung folgt aus der Tatsache, dass die Norm eines Vektors nicht-negativ ist.

Der kleinste Eigenwert ist 0

Der Zustand $\left| 0 \right\rangle$ ist ein Vektor im Hilbertraum und darf nicht mit dem Nullvektor verwechselt werden, sondern wird lediglich mit der Zahl 0 nummeriert.

$a^{\dagger }a\left| 0 \right\rangle =0\left| 0 \right\rangle = 0$ und $\left\langle 0 | 0 \right\rangle =1$

Wegen $n\ge 0$ muss gelten: $a\left| 0 \right\rangle =0$ . Wendet man also auf den niedrigsten Zustand den Absteigeoperator an, so erhält man den Nullvektor. Dies lässt sich aber nicht umkehren: Durch Anwendung von $a^{\dagger }$ auf den Nullvektor erhält man nicht den Grundzustand sondern wieder den Nullvektor.

Dies liefert eine Gleichung für den Grundzustand

$0=a\left| 0 \right\rangle =\left( \tilde{Q}+i\tilde{P} \right)\left| 0 \right\rangle =\left( \sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}Q+i\frac{P}{\sqrt{2\hbar m\omega }}\right) \left| 0 \right\rangle$

In der Ortsdarstellung kann man obige Operatorgleichung als Differentialgleichung darstellen und lösen: $P=-i\hbar \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}$ und

Q = x

$\left( \sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x+\sqrt{\frac{\hbar }{2m\omega }}\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} \right)\Psi _{0}\left( x \right)=0$ liefert normiert $\Psi _{0}\left( x \right)=\left( \frac{m\omega }{\pi \hbar }\right)^{\frac{1}{4}}\exp \left( -\frac{m\omega }{2\hbar}x^{2} \right)$

Die Eigenwerte sind ganzzahlig: $n\in \mathbb{N}_{0}$

Angenommen die Eigenwerte wären nicht ganzzahlig, so lassen sich ausgehend von einem Eigenzustand durch mehrmaliges Anwendung des Absteigeoperators Eigenzustände finden, die negative Eigenwerte besitzen. Dies ist aber ein Widerspruch zur Bedingung $n\ge 0$ . Bei ganzzahligen Eigenwerten erreicht man irgendwann den Grundzustand und durch nochmaliges Anwenden den Nullvektor; ab hier bricht automatisch die Leiter ab.

Aus der Kommutatorrelation $[a,a^{\dagger}]=1$ folgt:

$[N,a^{\dagger}]=a^{\dagger}$

$[N,a]=-a\,$

Ist $n$ Eigenwert, dann auch $n + 1$

$Na^{\dagger }\left| n \right\rangle =\left( a^{\dagger }N+\left[ N,a^{\dagger } \right] \right)\left| n \right\rangle =a^{\dagger }\left( N+1 \right)\left| n \right\rangle =a^{\dagger }\left( n+1 \right)\left| n \right\rangle =\left( n+1 \right)a^{\dagger }\left| n \right\rangle$

Wenn $a^{\dagger }\left| n \right\rangle$ ungleich dem Nullvektor ist, erhält man somit einen neuen Eigenwert

(n + 1)

$a^{\dagger }\left| n \right\rangle$ ist also Eigenzustand zum Eigenwert

(n + 1)

und somit proportional zu $\left| n+1 \right\rangle$ .

Mit $a^{\dagger}$ lässt sich also der nächste über $\left| n \right\rangle$ liegende Zustand konstruieren:

$a^{\dagger }\left| n \right\rangle =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right\rangle$

Der Faktor $\sqrt{n+1}$ ergibt sich aus folgender Rechnung (alle Eigenzustände seien normiert):

$a^{\dagger }\left| n \right\rangle =c\left| n+1 \right\rangle$

$\left| c \right|^{2}=\left\| c\left| n+1 \right\rangle \right\|^{2}=\left\| a^{\dagger }\left| n \right\rangle \right\|^{2}=\left\langle a^{\dagger }n|a^{\dagger }n \right\rangle =\left\langle n|aa^{\dagger }|n \right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger }a+1|n \right\rangle =n+1$

$c=\sqrt{n+1} e^{i\varphi}$ , die Phase

?

kann aber vernachlässigt werden.

Ist $n > 0$ Eigenwert, dann auch $n ? 1$

$Na\left| n \right\rangle =\left( a^{\dagger }N+\left[ N,a \right] \right)\left| n \right\rangle =a\left( N-1 \right)\left| n \right\rangle =a\left( n-1 \right)\left| n \right\rangle =\left( n-1 \right)a\left| n \right\rangle$

Wenn $a\left| n \right\rangle$ ungleich dem Nullvektor ist, erhält man somit einen neuen Eigenwert

(n ? 1)

Mit $a$ lässt sich also der unter $\left| n \right\rangle$ liegende Zustand konstruieren:

$a\left| n \right\rangle =\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle$

Der Faktor $\sqrt{n}$ ergibt sich aus folgender Rechnung:

$\left\| a\left| n \right\rangle \right\|^{2}=\left\langle an|an \right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger }a|n \right\rangle =n$

Alle Eigenzustände lassen sich vom Grundzustand ausgehend konstruieren:

$\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n}}a^{\dagger }\left| n-1 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left( a^{\dagger } \right)^{n}\left| 0 \right\rangle$

Auf diese Weise erhält man einen vollständigen diskreten Satz von Eigenzuständen

Mit Kenntnis der Eigenwerte/-zustände von $N$ sind nun auch die von $H$ bekannt:

$E_n=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)$ und $\left| \Psi_n \right\rangle = \left| n \right\rangle$

[Bearbeiten] Matrixdarstellung

Die Eigenzustände des Besetzungszahloperators $\left| n \right\rangle$ bilden ein vollständiges Orthonormalsystem. Mit Hilfe dieser Basis soll nun eine Matrixdarstellung der Leiteroperatoren ermittelt werden. Man beachte, dass hier alle Indizes von 0 (nicht von 1) bis unendlich laufen. Die Eigenzustände lassen sich als Vektoren darstellen:

$\left| 0 \right\rangle =\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \right),\quad \left| 1 \right\rangle =\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \right),\quad \left| 2 \right\rangle =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \right)$ usw.

Die Vollständigkeit dieser Basis liefert eine Darstellung des Einheitsoperators:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left| n \right\rangle \left\langle n \right|}=1$

Vor und nach dem Erzeugungsoperator wird eine 1 (Einheitsoperator) eingeschoben:

$a^{\dagger }=\sum\limits_{m,n=0}^{\infty }{\left| m \right\rangle \underbrace{\left\langle m \right|a^{\dagger }\left| n \right\rangle }_{a_{mn}^{\dagger }}\left\langle n \right|}$

Das Matrixelement berechnet sich zu

$a_{mn}^{\dagger }=\left\langle m \right|a^{\dagger }\left| n \right\rangle =\sqrt{n+1}\left\langle m | n+1 \right\rangle =\sqrt{n+1}\ \delta _{m,n+1}$

Der Erzeugungsoperator dargestellt durch die Basisvektoren

$a^{\dagger }=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left| n+1 \right\rangle \sqrt{n+1}\left\langle n \right|}$

Somit ergibt sich die Matrixdarstellung des Erzeugungsoperators bzgl. der Besetzungseigenbasis (alle nicht angegebenen Elemente sind gleich 0):

$a^{\dagger }=\left( \begin{matrix} 0 & {} & {} & {} & {} \\ \sqrt{1} & 0 & {} & {} & {} \\ {} & \sqrt{2} & 0 & {} & {} \\ {} & {} & \sqrt{3} & 0 & {} \\ {} & {} & {} & \ddots & \ddots \\ \end{matrix} \right)$

Durch analoge Rechnung erhält man für den Vernichtungsoperator:

$a=\sum\limits_{m,n=0}^{\infty }{\left| m \right\rangle \underbrace{\left\langle m \right|a\left| n \right\rangle }_{a_{mn}}\left\langle n \right|}=\sum\limits_{m,n=0}^{\infty }{\left| m \right\rangle \sqrt{n}\ \delta _{m+1,n}\left\langle n \right|}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left| n \right\rangle \sqrt{n+1}\ \left\langle n+1 \right|}$

Dabei wurde das Matrixelement schon eingesetzt:

$a_{mn}=\left\langle m \right|a\left| n \right\rangle =\sqrt{n}\left\langle m | n-1 \right\rangle =\sqrt{n}\ \delta _{m,n-1}=\sqrt{n}\ \delta _{m+1,n}$

Matrixdarstellung des Vernichtungsoperators bzgl. der Besetzungseigenbasis:

$a=\left( \begin{matrix} 0 & \sqrt{1} & {} & {} & {} \\ {} & 0 & \sqrt{2} & {} & {} \\ {} & {} & 0 & \sqrt{3} & {} \\ {} & {} & {} & 0 & \ddots \\ {} & {} & {} & {} & \ddots \\ \end{matrix} \right)$

Man erkennt, dass die Matrix $a^{\dagger}$ genau die transponierte von $a$ ist. Dies ist verständlich, da die beiden Operatoren zueinander adjungiert sind.

Matrixelement des Besetzungszahloperators bzgl. der Besetzungseigenbasis:

$N_{mn}=\left\langle m \right|N\left| n \right\rangle =n\left\langle m | n \right\rangle =n\ \delta _{m,n}$

alternativ mit den Leiteroperatoren:

$N_{mn}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{a_{mk}^{\dagger }a_{kn}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\underbrace{\sqrt{k+1}\ \delta _{m,k+1}}_{a_{mk}^{\dagger }}\underbrace{\sqrt{n}\ \delta _{k+1,n}}_{a_{kn}}}=n\ \delta _{m,n}$

Matrixdarstellung des Besetzungszahloperators bzgl. der Energieeigenbasis:

$N=\left( \begin{matrix} 0 & {} & {} & {} \\ {} & 1 & {} & {} \\ {} & {} & 2 & {} \\ {} & {} & {} & \ddots \\ \end{matrix} \right)$

Matrixelement des Hamiltonoperators bzgl. der Energieeigenbasis:

$H_{mn}=\left\langle m \right|H\left| n \right\rangle =\left\langle m \right|\hbar \omega \left( N+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left\langle m | n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\delta _{m,n}$

Matrixdarstellung des Hamiltonoperators bzgl. der Energieeigenbasis:

$H=\hbar \omega \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & {} & {} & {} \\ {} & 1+\frac{1}{2} & {} & {} \\ {} & {} & 2+\frac{1}{2} & {} \\ {} & {} & {} & \ddots \\ \end{matrix} \right)$

Da die Operatoren $N$ und $H$ hermitesch sind, folgt dass die zugehörigen Matrizen bzgl. der Eigenbasen symmetrisch sind.

[Bearbeiten] Eigenzustände

Die Eigenzustände des Vernichtungsoperators sind die kohärenten Zustände $\left| \alpha \right\rangle$ . Der Vernichtungsoperator $a$ erfüllt folgende Eigenwertgleichung:

$a\left| \alpha \right\rangle =\alpha \left| \alpha \right\rangle$

Der Erzeugungsoperator erfüllt folgende Eigenwertgleichung, mit einem Linkseigenzustand (Bra-Eigenzustand):

$\left\langle \alpha \right|a^{\dagger }=\alpha ^{*}\left\langle \alpha \right|$

Der Vernichtungsoperator $a$ kann im Gegensatz zum Erzeugungsoperator $a^\dagger$ Rechtseigenzustände (Ket-Eigenzustände) besitzen. Der Erzeugungsoperator erhöht die minimale Teilchenzahl eines Zustandes im Fockraum um eins; der damit entstandene Zustand kann also nicht der ursprüngliche sein. Dagegen verringert der Vernichtungsoperator die maximale Teilchenzahl um eins; da ein Zustand im Fockraum aber Komponenten aller Teilchenzahlen (auch beliebig hoher Teilchenzahlen) beinhalten kann, ist damit nicht verboten, dass $a$ Eigenzustände besitzt. Dies sind die kohärenten Zustände.

Der kohärente Zustand $|\alpha\rangle$ ergibt sich als Linearkombination von allen Zuständen fester Teilchenzahl $|n\rangle$ nach:

$\left| \alpha \right\rangle =e^{-\frac{\left| \alpha \right|^{2}}{2}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{\alpha ^{n}}{\sqrt{n!}}}\left| n \right\rangle =e^{-\frac{\left| \alpha \right|^{2}}{2}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{\alpha ^{n}}{\sqrt{n!}}}\frac{\left( a^{\dagger } \right)^{n}}{\sqrt{n!}}\left| 0 \right\rangle =e^{-\frac{\left| \alpha \right|^{2}}{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}\left| 0 \right\rangle$

Dabei ist $?$ eine nichtverschwindende komplexe Zahl, die den kohärenten Zustand vollständig definiert. $\left|\alpha \right|^2$ ist der Erwartungswert der Besetzungszahl des kohärenten Zustandes. Kohärente Zustände haben minimale Unschärfe und bleiben bei Zeitentwicklung kohärent. Mit ihnen lässt sich die elektromagnetische Welle einer Laser-Mode am besten beschreiben.

[Bearbeiten] Literatur

Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe: Quantenmechanik 1/2. de Gruyter, Berlin
Nolting: Grundkurs theoretische Physik. Bd.5/1 : Quantenmechanik. Springer, Berlin

[Bearbeiten] Siehe auch

Fockraum

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