Lemma von Lax-Milgram

Das Lemma von Lax-Milgram (nach Peter Lax und Arthur Milgram) ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Es verallgemeinert die Aussage des Rieszschen Darstellungssatzes auf stetige, koerzive Sesquilinearformen.

[Bearbeiten] Aussage

Es sei $\left(H, (. , .)\right)$ ein Hilbertraum über $\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}$ und es sei $B: H \times H \to \mathbb K$ sesquilinear. Ist dann $B$ stetig, d.h. es gibt ein $M \in \mathbb R$ mit

$|B(x,y)| \leq M\|x\|\|y\|, \quad \forall \, x,y \in H$

und koerzitiv (häufig auch stark positiv, elliptisch), d.h. es gibt $m > 0$ so, dass

$B(x,x) \geq m\|x\|^2, \quad \forall x \in H$

dann existiert genau ein stetiger, linearer Automorphismus $T: H \to H$ so, dass $B(x,y) = \left(x,Ty\right)$ für alle $x,y \in H$ .

Zudem gelten die Abschätzungen $\left\|T\right\| \leq M$ und $\left\|T^{-1}\right\| \leq 1/m$ .

Anwendungen findet das Lemma von Lax-Milgram hauptsächlich in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Insbesondere lässt sich für lineare Differentialgleichungen Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zeigen, falls obige Bedingungen erfüllt sind.

[Bearbeiten] Literatur

Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York Juni 2006, ISBN 978-3-540-34186-4.

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