Sigma-endliches Maß

Der Begriff der $?$ -Endlichkeit (auch $?$ -Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in $?$ -endliche und nicht $?$ -endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Beispiele
4 Literatur

[Bearbeiten] Definition

Ein positives Maß $?$ , definiert auf einer $?$ -Algebra $?$ von Teilmengen einer Menge $X$ , wird genau dann endlich genannt, wenn $?(X)$ endlich ist. Eine Menge in einem messbaren Raum hat $?$ -endliches Maß, wenn sie eine abzählbare Vereinigung von Mengen endlichen Maßes ist. Das Maß $?$ wird dann $?$ -endlich genannt, wenn $X$ $?$ -endliches Maß hat.

Die Definition lässt sich auf signierte Maße ausweiten: Ein signiertes Maß $?$ heißt $?$ -endlich, wenn $| ? |$ $?$ -endlich ist.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der $?$ -endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, $?$ -Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodym und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel gelten nicht mehr für nicht $?$ -endliche Maße.

[Bearbeiten] Beispiele

Das Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen ist nicht endlich, aber $?$ -endlich. Denn betrachtet man die Intervalle $[k, k + 1]$ für alle ganzen Zahlen $k$ , so hat jedes Intervall das Maß 1, und $\mathbb{R}$ ist deren Vereinigung.

[Bearbeiten] Literatur

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-15307-1.

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