Elementare Funktion

Die elementaren Funktionen sind in der Mathematik immer wieder auftauchende, grundlegende Funktionen, aus denen sich viele andere Funktionen mittels der Grundrechenarten, Verkettung, Differentiation oder Integration bilden lassen. Dabei gibt es keine allgemeingültige Definition, wann eine Funktion elementar genannt wird und wann nicht.

In diesem Sinne entsprechen die elementaren Funktionen in der Mathematik den chemischen Elementen in der Chemie.

Die elementaren Funktionen ergeben sich oftmals als Lösungen einer einfachen Differential- oder Funktionalgleichung, und sind deshalb ? mehr noch als die speziellen Funktionen ? auch für viele Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie grundlegend, weil sie immer wieder in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auftreten.

Wolfram Inc. (die Hersteller des Computeralgebrasystems Mathematica) zählt zu den elementaren Funktionen:

Die Potenzfunktionen
Die Radizierung bzw. das Wurzelziehen als Umkehrung der Potenzfunktionen
Die Exponentialfunktion
1. zur Basis e (der eulerschen Zahl)
2. zu einer allgemeinen Basis a mit $a^x:=e^{x\cdot \ln a}$
Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.
Die trigonometrischen Funktionen
1. Sinus
2. Kosinus
3. Tangens
4. Cotangens
5. Sekans
6. Kosecans
Die Arcusfunktionen als Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
1. Arkussinus
2. Arkuskosinus
3. Arkustangens
4. Arkuskotangens
5. Arkussekans
6. Arkuskosekans
Die hyperbolischen Funktionen
1. Sinus Hyperbolicus
2. Kosinus Hyperbolicus
3. Tangens Hyperbolicus
4. Kotangens Hyperbolicus
5. Sekans Hyperbolicus
6. Kosekans Hyperbolicus
Die Areafunktionen als Umkehrfunktionen zu den hyperbolischen Funktionen
1. Areasinus Hyperbolicus
2. Areakosinus Hyperbolicus
3. Areatangens Hyperbolicus
4. Areakotangens Hyperbolicus
5. Areasekans Hyperbolicus
6. Areakosekans Hyperbolicus
Die LambertW Funktion auch genannt der Produktlogarithmus
Die Min/Max-Funktion

[Bearbeiten] Definitionsversuche

Da es sich trotz aller Unklarheit trotzdem eingebürgert hat, von elementaren Funktionen zu sprechen, und im Zuge dessen auch tatsächliche mathematische Fragestellungen entstanden sind, sind auch Versuche unternommen worden, exakte Definitionen zu liefern.

Als elementare Funktion werden z.B. in einigen Quellen solche Funktionen bezeichnet, die sich in endlich vielen Schritten mit Hilfe von Grundrechenarten, Verkettung, Exponentialbildung oder Logarithmierung aus einer rationalen Funktion bilden lassen.

Damit lassen sich alle oben aufgeführten Funktionen bis auf die Lambert-W-Funktion ausdrücken, da beispielsweise $\cos(z)=\tfrac12(e^{iz}+e^{-iz})$ und ${\rm Arcosh}(z)=\ln(z+\sqrt{z^2-1})=\ln(z+e^{\frac{1}{2}\ln(z^2-1)})$ gilt. Diese Definition erlaubt es, einer Abbildungsvorschrift sofort anzusehen, ob sie elementar ist. Außerdem wurde mit Hilfe dieser Definition der sogenannte Risch-Algorithmus entwickelt, der es ermöglicht zu entscheiden, ob eine gegebene elementare Funktion eine elementare Stammfunktion hat. Teile dieses Algorithmus sind auch in Computer-Algebra-Systemen wie Maple oder Mathematica implementiert, um Integrale zu bestimmen. Auch wenn der Algorithmus zum heutigen Zeitpunkt noch nicht vollständig implementiert wurde, sind die Routinen zur Bestimmung von Stammfunktionen gute Heuristiken, um zu entscheiden, ob eine Funktion elementar integrierbar ist oder nicht.

Erst eine präzise Definition erlaubt den Nachweis, dass bestimmte Funktionen nicht elementar sind. Beispielsweise sind die Stammfunktion von $\tfrac{\sin x}{x}$ oder $\ \exp(x^2)$ gemäß dem Satz von Liouville nicht elementar im obigen Sinne.

[Bearbeiten] Literatur

Maxwell Rosenlicht, Liouville's Theorem on Functions with Elementary Integrals. Pacific Journal of Mathematics, 24 No. 1, 153--161, 1968.
Maxwell Rosenlicht, Integration in Finite Terms. The American Mathematical Monthly, 79, 963--972, 1972.

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